Funciones Senoidales Asincrónicas (página 2)

Se formula el siguiente teorema:

3.2 ) Teorema 1

Determinante de la Matriz de una
Secuencia Asincrónica Suma

El determinante de la matriz asociada a una secuencia
de la función
asíncrona fa+ de orden n (n natural), para una
secuencia de cardinalidad es
dependiente de los coeficientes multiplicadores y de sus
coeficientes generadores, y solamente de estos.

Su forma general es:

< 1 >

Demostración:

T1.1)

– Se demuestra para n = 1 y para una secuencia que
evoluciona discretamente en los naturales

Condiciones remitidas a
<Co.1>

T1.2)

• Extensión de T1.1 a cualquier paso p
  en los reales

El paso p aparece asociado al generador
k.

Se puede verificar que una secuencia senoidal S
evaluada en una discretización de paso p es
equivalente a su evaluación
de 1 en 1 multiplicando el coeficiente generador k por el
paso, con un desplazamiento del origen.

Lo que equivale a transformar el generador k de
la secuencia S proporcionalmente al valor de
p.

Como queda expresado en la identidad
trigonométrica, el determinante aniquila al desplazamiento
del origen x que tal transformación conlleva y la
proposición es válida para todo p en los
reales.

T1.3)

P(1) es Verdadero, se procede por
inducción

Sea P(n) verdadero por hipótesis inductiva:

El término (n+1)-ésimo de esta
productoria es:

Para evaluar P(n + 1) se considera la razón
entre el determinante de una matriz de orden (n+1) sobre el
determinante de una matriz de orden n:

Simplificando:

Condiciones remitidas a
<Co.1>

Que corresponde al término
(n+1)–ésimo de la productoria. Para todo
n en naturales, la razón entre el determinante de
una matriz asincrónica suma de fa+ de orden (n +
1) sobre el determinante de una matriz asincrónica
suma de fa+ de orden n siempre es el último
término de la productoria que expresa al determinante de
la primera.

P(n) implica P(n+1).

Por lo tanto el paso inductivo es válido y la
demostración es completa.

—————————

Observación: en el enunciado del
Teorema 1 se definía que el determinante de la
secuencia de orden n dependía sólo del
vector generador y del vector multiplicador, esto
parecería despreciar el paso p de la secuencia, en
el caso que este no sea igual a 1.

Pero como se analizó en T1.2 tomar otro
paso p distinto de 1 es equivalente a transformar el
coeficiente generador del término correspondiente en la
fa+, con lo cual un cambio en el
paso p aplica una trasformación en el conjunto
generador y la proposición confirma su
validez.

3.3) Propiedades del conjunto
generador

El Teorema 1 confirma que el determinante de una
matriz cuyos términos corresponden a una secuencia de
funciones
asincrónicas de orden n, siendo el largo de la
secuencia de por lo menos no depende de la
posición de la secuencia, sino exclusivamente de los
conjuntos
generador y multiplicador y
respectivamente.

Se da por sobreentendido que la disposición de
los términos de la matriz corresponden al orden de los
mismos en la secuencia, es decir es un conjunto ordenado; en todo
el trabajo
optamos por un ordenamiento en columnas, pero obviamente las
proposiciones siguen siendo validas si se distribuye la secuencia
en filas, dada la identidad del determinante para una matriz y su
transpuesta.

Esta invariabilidad del determinante respecto a la
posición de la secuencia permitiría deducir las
componentes de los vectores
generadores.

Sin embargo, la expresión de esta función
es tan compleja, que salvo para dimensiones pequeñas se
hace prácticamente intratable.

A su vez, es difícil discernir entre los
coeficientes ponderados del vector multiplicador y los
coeficientes del conjunto generador.

Pero como se mencionó anteriormente, existen
operaciones
que permite acotar el valor del vector generador. Su
generalización se establece a
continuación

3.4) Teorema 2

Determinante de la Suma de dos
Matrices
consecutivas de una

Secuencia Asincrónica
Suma

El determinante de la Suma de dos Matrices
consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de la
función asíncrona fa+ de orden n (n natural)
para una secuencia de cardinalidad + m es
dependiente de los coeficientes multiplicadores y de sus
coeficientes generadores y del paso de desplazamiento m que
referencia la posición inicial de la segunda matriz
respecto a la primera; y solamente de estos.

Su expresión es el producto del
determinante para la matriz asincrónica asociada a los
vectores generadores y multiplicadores de la fa+, tal cual se
verificó en la ecuación < 1 > por
la productoria:

El resto de las condiciones corresponden
a < Co.1 >

Donde m es el desplazamiento del origen de la
fa+ de la segunda matriz respecto a la primera

Su forma general es:

Demostración:

T2.1) – Se demuestra para n
= 1:

Que es la expresión de orden 1 de la
ecuación < 2 > por la productoria de 1 a 1
de

P (1) es verdadero. Se procede por inducción.

Sea P(n) verdadero por hipótesis
inductiva:

Se expresa P(n + 1):

El Teorema 1 justifica el determinante de una
matriz asincrónica suma de orden (n + 1), y la
Expresión < A > es el producto de este determinante
por la productoria .

P(n) implica P(n+1).

Por lo tanto el paso inductivo es válido y la
demostración es completa.

—————————

3.5) Teorema 3

Determinante de la Diferencia de dos
Matrices consecutivas de una misma Secuencia Asincrónica
Suma

El determinante de la Resta de dos Matrices
consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de la
función asíncrona fa+ de orden n (n natural)
para una secuencia de cardinalidad + m es
dependiente de los coeficientes multiplicadores y de sus
coeficientes generadores y del paso de desplazamiento m que
referencia la posición inicial de la segunda matriz
respecto a la primera; y solamente de estos.

Su expresión es el producto del determinante para
la matriz asincrónica suma asociada a los vectores
generadores y multiplicadores de la fa+, por la
productoria:

El resto de las condiciones corresponden
a <Co.1>

Donde m es el desplazamiento del origen de la
fa+ de la segunda matriz respecto a la primera

Su forma general es:

Demostración:

T3.1) – Se demuestra para n =
1:

Correspondiente a la expresión de orden 1
de:

El resto de la demostración es
análoga a T2.

———————-

3.6) Corolarios de los Teoremas 2 y
3

C.2.1)

El cociente del determinante de la diferencia
de dos Matrices consecutivas, ambas asociadas a una misma
secuencia de la función asíncrona fa+ de
orden n (n natural) para una secuencia de cardinalidad
+ m, sobre el determinante de la primera matriz
es igual a la productoria de 1 a n del cuadrado del seno del
medio producto de los coeficientes generadores k por el
desplazamiento m. (m entero)

Su expresión es:

< 4 >

C.2.2)

El cociente del determinante de la suma de dos
Matrices consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de
la función asíncrona fa+ de orden n (n
natural) para una secuencia de cardinalidad
+ m, sobre el determinante de la primera matriz
es igual a la productoria de 1 a n del cuadrado del coseno del
medio producto de los coeficientes generadores k por el
desplazamiento m

Su expresión es:

< 5 >

C.2.3)

El cociente del determinante de la resta de dos
matrices consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de
la función asíncrona fa+ de orden n (n
natural) para una secuencia de cardinalidad
+ m, sobre el determinante de la de la suma de
las mismas matrices es igual a la productoria de 1 a n del
cuadrado de la tangente del medio producto de los coeficientes
generadores k por el desplazamiento m

Su expresión es:

< 6 >

Los Corolarios 1 a 3 permiten, por medio de las
operaciones mencionadas, extraer la productoria de los senos,
cosenos y tangentes del cuadrado del medio producto del
coeficiente de desplazamiento m por el valor del termino
generador k. En esta operación se filtra los
componentes del vector multiplicador asociado a cada
término de fa+, como así también la
posición x de origen de la secuencia.

Conclusión

Las secuencias de funciones senoidales
asincrónicas tienen propiedades de composición
deducibles a través de su determinante, lo cual permite
acotar las frecuencias generadoras.

Teóricamente tiene importantes posibilidades
algorítmicas, cuya descripción excede las posibilidades de
esta sinopsis.

Nota aclaratoria

La presente monografía es extractada de un trabajo de
investigación mucho más extenso, se
desarrollan aquí solamente los aspectos más
generales de aquella.

Para consultas o ampliaciones por favor escribir al
autor

Dante E. Wojtiuk

Buenos Aires, Argentina

29 de Mayo de 2006